Теория вероятностей

[Azalin Rex]

Вообще я создал эту тему для одного вопроса, но думаю что такая тема пригодится и впредь.

Для рассчетов в системах неплохо пользоваться теорией вероятности. Но не у всех хаватает скилла матанализа опыта или попросту памяти чтобы эффективно пользоваться тервером.

Возможно те кто знают смогут ответить на вопросы тут.

Мне же хочется узнать вполне конкретную вещь
каково среднее значение на шестигранных кубах если кидаешь 3к6, 4к6 минус меньшее и 5к6 минус два меньших.

[Геометр Теней]

В смысле - математическое ожидание?
Для 3d6 - 10,5
Для 4d6, если "минус меньшее" значит просто отбрасывание меньшего, то 12 c хвостиком (примерно 12,3). Если вычитать из суммы - то те же 10,5...

Это я посчитал вручную, могу выкладки дать. Но если лень считать или не нужны точные результаты, а нужны округлённые, то есть сервисы, вроде уже проскакивавшего тут http://anydice.com/

[Witcher]

Матожидание суммы равно сумме матожиданий. В данном случае среднему всех циферок на кубике умножить на число кубиков. Только в системах это ничего не дает, поскольку нужно оперировать не столько матожиданием, сколько распределением вероятности. Оно считается так - берешь все суммы, которые могут выпасть на данном наборе кубиков и смотришь, сколькими способами (с учетом перестановок!) можно получить данную сумму. Например - пусть у тебе монеты, 2 штуки. Орел - 1, решка - 0.
Тогда ноль ты получаешь 1 способом, 2 - одним, 1 - двумя. Всего случаев 4, то есть все делим на четыре
Пусть монет три - тогда 
0 - один способ
1 - три способа
2 - три способа
3 - один способ.
Всего случаев 8, все делим на восемь, т. е.
0 - 1/8 , 2 - 3/8, 3 - 3/8 , 4 - 1/8

Сразу, к слову, видно эффект: с увеличением числа кубиков вероятность получить что-то 'из середины' растет, и довольно резко.  Поэтому на больших дайспуллах даже очень небольшое относительное отклонение от середины будет весьма существенно сказываться. И наооборот, на малых дайспуллах с большим числом граней на дайсе цена отклонения от середины заметно ниже. Количественная мера этого эффекта - дисперсия или среднеквадратичное отклонение.  Если у тебя под рукой компутер, то не проблема сваять простенький скриптик, который все это будет обсчитывать и выдавать в удобном виде. Общие формулы выводятся, но они страшные.

[Геометр Теней]

Общие формулы, кстати, нестрашные - для случаев с выбором максимума\минимума в числе более одного куба они начинают несколько расплываться, но тоже комбинаторика там не то, чтобы жуткая.  Факт с приближением распределения к нормальному (закон больших чисел) для наших дайсов будет работать всегда, но модификации с выбором больших-меньших (как в этом случае) будут довольно резко кидать моду ряда и перекашивать распределение.

Ссылка на инструмент есть же в моём посте выше. В том калькуляторе есть документация и есть, кстати, реализованная функция highest. Можно посмотреть, что в output [highest 3 of 5d6] распределение будет довольно заметно несимметричным.

[-VINIL-]

Если нужно быстро прикинуть, то среднее значение выпадание дайса будет равно (макс. значение на дайсе)/2+0.5. Например у d8 средний результат 4.5.
Соответственно бросок нескольких кубов даст сумму средних значений каждого. Например 4d6+1d20+2=14+10.5+2=26.5.
Если где-то не прав, думаю меня поправят )

[Ин Ши]

Если нужно быстро прикинуть, то среднее значение выпадание дайса будет равно (макс. значение на дайсе)/2+0.5.

(Минимальное + максимальное)/2

[Геометр Теней]

Для правильного дайса с идущими с идущими подряд натуральными значениями (как обычно и бывает) разницы между двумя постами выше нет. Метод Ши чуть более универсален, потому что применим ещё и к дайсу с постоянным шагом, не равным 1 (например, стандартный d10 для десятков процентника), но это экзотика.

[Ин Ши]

Для правильного дайса с идущими с идущими подряд натуральными значениями (как обычно и бывает) разницы между двумя постами выше нет. Метод Ши чуть более универсален, потому что применим ещё и к дайсу с постоянным шагом, не равным 1 (например, стандартный d10 для десятков процентника), но это экзотика.

Метод ИнШи не вводит магических чисел, т.е. не умножает сущности без надобности.

[Геометр Теней]

Если бы тема была посвящена теоретическим выкладкам, я бы, пожалуй, счёл отличие значимым. (А если бы, допустим, речь шла о выкладках студента математического профиля, то разница показывала бы уровень математической культуры). Но она открыта просьбой о чисто инструментарных рецептах, то есть нужна людям, которые заведомо не проникают глубоко в теорию. И именно поэтому разница в этом случае несущественна.

Кстати, я упустил выше, что метод Ши ещё и подходит для дайсов с минимальным значением не 1. Однако всё это остаётся несущественным, на мой взгляд - уровень ответа должен соответствовать уровню вопроса.

[Azalin Rex]

(Минимальное + максимальное)/2

Небезыинтересная формула.

[alphysic]

разницы между двумя постами выше нет.

-Vinil- и Ин Ши выкинули одинаковые кубики, но -Vinil- нанес 3.5 урона, а ИнШи честно пытался согласиться на 3. Правда скромно умолчал, что округление к нулю - но подразумевалось, думаю, именно это. Это у него программерское такое целочисленное деление - по умолчанию, значит, не обсуждается.  Просто в целых числах нет 0.5. и компиляторы обычно округляют результаты деления или к нулю или к минусу.

[Ин Ши]

-Vinil- и Ин Ши выкинули одинаковые кубики, но -Vinil- нанес 3.5 урона, а ИнШи честно пытался согласиться на 3.

(1+6)/2 = 3.5

[Геометр Теней]

alphysic, математическое ожидание дискретной случайной величины может быть дробным, даже если величина принимает только целочисленные значения. Более того, все стандартные дайсы (d4, d6, d8, d10, d12, d20) имеют дробное математическое ожидание. И для всех них формулы Ши и Винила дадут одинаковый ответ - они вообще дадут одинаковый результат для любого дайса с N гранями и числами на них 1...N.

[alphysic]

Я туп, но наблюдателен. В основном здесь собрались апологеты ДнД, стало быть нанести урон на дробное число не получится. А так, да, конечно.

[vsh]

Насколько я понял, это программерская шутка на тему

Код: [Выделить]

{
double f=1/2;
if (f==0.0) std::cout<<"Правильно!";
}


[vsh]

Для ещё одного стандартного дайса, dF, Ши даёт правильную формулу, а Винил - нет.

[alphysic]

(1+6)/2 = 3.5

Ээээ.. тогда не понял. Если результат и так правильный - нафига уточнять формулу? В поздних версиях блин, как его, этого древнего астронома. как его. Кепплера. чтоли... а! Птолемея! - ну, знаете, там где планеты кружатся по эпициклоидам вокруг эпициклоидов своих эпициклоидов - там же можно было добиться сколь угодно большой точности - это же ж прям таки класическое разложение в ряд - так нафига с теорией Коперника заморачиваться? А. понятно - Коперник была женщина. Это единственное разумное объяснение. что я могу себе представить.

Зы. Вы чудовищно быстро отвечаете - для такого тормоза, как я это жуть.

[Dmitry Gerasimov]

alphysic, я смотрю, ты удачно подпись выбрал.

[alphysic]

Всё! уже молчу. Еще на месяц-полтора. Извините, сорвался.

[-VINIL-]

Ин Ши, спасибо за уточнение! ) В любом случае, думаю автор ждал чего-то подобного.

[Геометр Теней]

Я туп, но наблюдателен. В основном здесь собрались апологеты ДнД, стало быть нанести урон на дробное число не получится. А так, да, конечно.

(Злорадно ухмыляется, потом быстро делает честное-честное непонимающее лицо).
Математическое ожидание урона к выпадающему на дайсе значению прямого отношения не имеет. При броске идеальной монетки математическое ожидание числа выпавших гербов - 1/2, но это не значит, что на монете можно выбросить 1/2 герба - уж или один, или ноль.

Математическое ожидание равно X, если уж нужно прямое истолкование, означает, что при большом числе бросков среднее арифметическое будет стремиться к X. Если гном Вася по прозвищу Швейная Машинка тычет кинжалом спящего дракона Петю на d6 хитов сорок раз, это означает, что в среднем он будет наносить 3,5 урона на атаку (а сколько снимет Вася прямо сейчас предсказать нельзя, иначе и дайс бы не был нужен). Такие расчёты нужны, чтобы знать, что спящему дракону нужно давать не менее 161 хита...

[Leeder]

При этом не стоит забывать, что теория вероятностей не даром называется "теория", ибо реальные кубики уж очень далеки от идеальных механизмов, способных выдавать случайный результат. Смещение центра тяжести, шероховатости на гранях, размеры граней... в половине всех кубиков, что я купил в Саргоне, наблюдаются такие косяки, после которых честно рассчитывать на случайный результат уже не стоит.

Например, у меня есть один д20, который я в играх использую только если спасает 20ка. У него примерно в 50% случаев выпадает либо 1, либо 20.

[Геометр Теней]

На самом деле тема проверки дайса на смещённость стат. методами - занятная тема. Психологически часто кажется, что дайсы "сильно неправильные", но производители редко делают явно смещённые. У меня это одна из любимых тем отработок для студентов - проверить гипотезу о равномерности распределения на одном из выдаваемых дайсов... Все имеющиеся у меня сейчас дайсы могут считаться правильными с доверительной вероятностью 0,975; выпадающих при таких проверках за 0,95 дайсов у меня не было никогда...

[Ин Ши]

При этом не стоит забывать, что теория вероятностей не даром называется "теория"

Специально для "практиков": в науке подтверждённые и доказанные знания называются "теориями", а всякая невнятная херня (совсем или пока ещё) - "гипотезами".

[Leeder]

Геометр Теней, завидую. Но смещённость может образовываться не только при изготовлении кубика.

Ин Ши, благодарю за дополнение.

[vsh]

Если кубики сделаны из шоколада, то да, они могут растаять при транспортировке. Иначе мне сложно представить возникновение смещенности без участия напильника, паяльника и капелек свинца.

[Арсений]

Была где-то статья о том, что большое количество кубиков немного деформируется во время шлифовки, приводя к неравномерному распределению. Если общественности интересно, могу поискать статью.

[Геометр Теней]

Геометр Теней, завидую.

Завидовать не стоит.
Вот, например, простая проверка на правильность вашего дайса "для чайников".
Итак, у нас есть дайс dN.
Совершаем Nk бросков кубика. (k желательно брать достаточно большое - в идеале сотни, но в реальности хотя бы десятки).
Считаем число единиц (n_1), двоек (n_2) и так далее.
Считаем сумму выражений следующего вида: ((n_i   -  k)^2 )/k, где i пробегает значение от 1 до N.

Фиксируем точность, с которой мы хотим получить ответ. Для этого задаём некоторый уровень допустимой ошибки e (в долях, от 0 до 1 - у меня в примере выше e=0,025). По таблице для хи-квадрат распределения с k-1 степенью свободы находим критические точки уровня e/2 и 1-(e/2). Найти их можно в таблицах в любой книжке по мат. статистике, в статистических функциях почти любого мат. пакета... Да господи, даже в MS Excel входит функция CHIINV, которая выдает эти самые критические точки.

Если наша сумма попала в промежуток между этими двумя критическими точками - наш дайс можно считать правильным с заданным уровнем допустимой ошибки. Вуаля!

[Erl]

Немного не в тему, но...
Один мой знакомый ваховец купил английские дайсы, для вахи собстсвенно (там в комплекте помимо обычных есть еще пара особых "артиллерийских" дайсов, но речь не о них).
Как-то рассматривая один из дайсов этого комплекта он совершенно случайно обнаружил, что на одном из них две "пятерки", при этом нет "тройки" . Прочие дайсы оказались самыми обычными и "правильными". Вот такие бывают "фирменные" дайсы.

[Leeder]

Геометр Теней, я скорей завидую терпению и дотошности, способной сподвигнуть человека на тестирование всех имеющихся у него кубиков.