Мат ожидание "взрывающихся" дайсов

[Dark star]

Каково мат ожидание следующих комбинаций при "взрывающихся" бросках: 2к4, 2к6, 2к8, 2к10, 2к12 ?


Как его рассчитать в общем случаи для бросков вида XdY? А для бросков вида XdY + ... + KdN?



PS Скорее всего, все довольно просто, но точного значения я быстро получить не смог.
PPS "Взрывающимся" назовем такой бросок комбинации кубиков, что если на любой из костей выпало максимальное значение, то эту кость кидаем еще раз и добавляем к полученному результату (до бесконечности, пока выпадают макс значения).

[Leeder]

http://topps.diku.dk/torbenm/troll.msp

Формула для взрывающихся 2d6, если я не напутал:

sum { sum (accumulate x:=d6 while x=6),
      sum (accumulate y:=d6 while y=6) }

[Gix]

По порядку. Матожидание суммы - сумма матожиданий, так что задача сводися к нахождению матожидания одного кубика dN.
Для такого кубика матожидание Mn это 1*1/N+2*1/N+...+(N-1)*1/N+(1/N)*(N(результат на кубике)+Mn(матожидание результата нового броска))
Получаем:
Mn=(1+N)/2+Mn*1/N
(1-1/N)Mn=(1+N)/2
Mn=((1+N)/2)/(1-1/N)

вроде бы так.

UPD: конкретно в случае d6:
M6=((1+6)/2)/(1-1/6)=(7/2)/(5/6)=21/5=4,2

[Геометр Теней]

(Сварливо) Вот стоит мне покинуть форум на неделю - и там начинается то падение, то обман народа, то ещё какие кровопролития...


Для начала - классический взрывающийся dN, если я правильно понял, означает, что ровно N не выпадает никогда, потому расчёт Gix не вполне корректен. Для его примера с d6 - числа 1...5 выпадают с вероятностью 1/6 каждое, но если выпало 6, кость кидается снова и результат прибавляется к сумме, так? Итого числа 7...11 выпадают c вероятностью 1/36 (1/6 - шанс выпадения шестёрки, потом 1/6 на каждое), 13...17 - с вероятностью 1/216 и так далее.


Математическое ожидание считается по формуле (сумма от вероятности значения*значение). Первая пятёрка даёт сумму 18, каждое умноженное на 1/6 - итого сумма 18/6, вторая пятёрка даёт сумму 45 и вклад 45/36 и так далее. В общем виде N-ная пятёрка - числа 6(N-1)+1, 6(N-1)+2... 6(N-2)+5 и их сумма 36N-18, а в знаменателе будет 6 в степени N.


Итого получаем ряд с общим членом (36N-18)/6^N или, после сокращения на 6, (6N  - 3)/6^(N-1), который считается элементарно разбиением на два (один ряд - вообще геометрическая прогрессия, как она есть, второй сводится к ней в один шаг, который я опущу для краткости). Ответ - 126/25 или, если в десятичных дробях, 5,04.


Про то, что мат. ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий, и что М от NdZ = N мат. ожиданий dZ тут заметили правильно.

[CTPAHHUK]

Для начала - классический взрывающийся dN, если я правильно понял, означает, что ровно N не выпадает никогда, потому расчёт Gix не вполне корректен

Gix строит ряд до члена N-1, так что, всё вполне верно. По крайней мере, с экспериментальными данными формула бьётся. И у меня экспериментально для d6 вышло именно 4.2 (ну, ровно до 4.2 я так и не дошёл, то число стремилось именно к нему, а не к 5.04).

[Геометр Теней]

Чёрт, только сейчас прочитал внимательно пост - нет, поспешность изобретение шайтана, правы арабы. Там же циклическое вычисление - оно-то верно. Сейчас проверю аккуратно, а то мог от усталости напутать...

Возражение снято и приношу извинения - там изящнее, а мне не надо браться с разгону. Поймал у себя арифметическую ошибку препозорнейшего вида - 15 сумма первой пятёрки, а не 18 же. Тогда ряд имеет вид (36N-21)/6^N, то есть сумма  111/25 или 4,44

[CTPAHHUK]

Но всё-таки, 4.44 - это не 4.2, и отличается от него на предательские 6/25. Проверка приведённым Лидером калькулятором устремляет результат к 4.2, мой рандомайзер тоже. Где ошибка?

[Dekk]

В рассуждениях Gix ошибки нет, они слишком просты для этого.

Итак, в рассуждениях дяди Геометра у нас есть
Mn=(1+2+3+4+5)/6 + (7+8+9+10+11)/6^2 + (13+14+15+16+17)/6^3+...=
    =(1+2+3+4+5)/6 + (6*5+1+2+3+4+5)/6^2 + (12*5+1+2+3+4+5)/6^3+...=
    =15/6 + (6*5)/6^2 + 15/6^2 + 2*(6*5)/6^3 + 15/6^3+... = An + Bn
Где An равняется сумме от 1 до ∞ 15/6^n
       Bn равняется сумме от 1 до ∞ 5*n/6^n

Оба ряда сходятся по признаку не помню кого, который про предел (An+1)/An при n—›∞. А сейчас я попытаюсь вспомнить как всё это считать.

An у меня получилось равным 15*1/5 то есть 3.
Bn у меня получилось 5*6/25, то есть 6/5 или 1,2.

[Gix]

В общем виде N-ная пятёрка - числа 6(N-1)+1, 6(N-1)+2... 6(N-2)+5 и их сумма 36N-18

Дяденька Геометр, а как ты пять раз по 6N сложил и 36N получил?

[aaa13]

Все проще - матожидание взрывающегося кубика - это 3.5 плюс 1/6 матожидания взрывающегося кубика. Решив линейное уравнение получаем для матожидания взрывающегося кубика 4.2
Или N(N+1)/2(N-1) для dN.

[CTPAHHUK]

Дяденька Геометр, а как ты пять раз по 6N сложил и 36N получил?

Ага, точно. Вот она где. И тогда будет 30N-15, и все наши расчёты сойдутся в области числа 4.2.