Теория вероятностей

[Геометр Теней]

(Механическим голосом). Так база-то совсем небольшая нужна. Разве вы не фиксируете все броски на ваших играх с указанием времени? 

[-VINIL-]

Если уж на то пошло, то тут такая занятная задачка для SW, где инициатива разыгрывается колодой карт (54 шт).
Если я не ошибаюсь, то мат. ожидание инициативы будет (2+14(туз))/2 = 8. Т.к. масти тут значения не имеют, можно сравнить это с броском дайса. Джокеров я не учитывал для простоты.
Одна способность позволяет перетаскивать карту, если выпала 5-. Тут у нас грубо говоря (6+14)/2 = 10. Прирост не слишком большой.
А другая способность позволяет вытаскивать две карты и брать лучшую. Интересует подсчет средней инициативы в этом случае. А еще больше интересует расчет если применить обе эти способности. Уточню, что первая способность срабатывает после второй. Т.е. если обе полученные карты <=5. Критика моих расчетов также приветствуется! )
Спасибо.

[Арсений]

Просто замечания по правилам, не к расчетам.

(1) Масти тоже определяют последовательность хода, по старшинству мастей (червы, трефы, пики, бубны ЕМНИМС).

(2) Есть три эджа, влияющих на инициативу: Quick (Discard draw of 5 or less for new card), Level Headed (Act on best of two cards in combat) и Improved Level Headed (Act on best of three cards in combat). Quick работает после Level Headed – т .е. игрок в начале выбирает лучшую карту из двух/трех, и если она ниже 5, то он тянет еще одну.

P.S. У нас в играх мы даем игроку самому выбирать, какую карту брать – не обязательно старшую.

[-VINIL-]

(1) Масти тоже определяют последовательность хода, по старшинству мастей (червы, трефы, пики, бубны ЕМНИМС).

Пики, червы, бубны, трефы. Как в покере ) Но не думаю, что это существенно.

(2) Quick работает после Level Headed – т.е. игрок в начале выбирает лучшую карту из двух/трех, и если она ниже 5, то он тянет еще одну.

Я так и написал, но спасибо за вординг.

P.S. У нас в играх мы даем игроку самому выбирать, какую карту брать – не обязательно старшую.

Зачем, если есть On Hold?

[Арсений]

Зачем, если есть On Hold?

Иногда игроу с Quick и Level Headed приходит, например, 2 и 6, и он берет 2, чтобы рискнуть и вытянуть еще одну карту - авось будет что-то лучше.

[Геометр Теней]

А другая способность позволяет вытаскивать две карты и брать лучшую. Интересует подсчет средней инициативы в этом случае. А еще больше интересует расчет если применить обе эти способности. Уточню, что первая способность срабатывает после второй. Т.е. если обе полученные карты <=5. Критика моих расчетов также приветствуется! )

Начнём с 2 карт (без учёта джокеров). Считаем В за 11, Д за 12, К за 13, Т за 14. Существует 1326 возможных выборов 2 карт из 52, из них инициатива 2 получается только в случае двух 2 - это 12 способов, итого вероятность 12/1326. Инициатива 3 - в случае двух 3 или 3 и 2 - это 12 способов для первого и 16 для второго, итого 28/1326. И так далее - продолжая расчёты, которые я пропущу, получим математическое ожидание в итоге приблизительно 10,196.

Далее. Если обе карты более 4. Надо просто посчитать условные вероятности - а ещё проще считать, что у нас с самого начала колода без 2,3 и 4 (40 листов). Тогда существует 780 комбинаций, из них инициатива 5 будет при двух пятёрках - 12 способов... Аналогичными подсчётами получаем мат. ожидание примерно 11,192. 

[Геометр Теней]

У Геометра, как известно, пальцев нет, у него исключительно тентакли. Но если вы отложите биту, я могу и побольше объяснить вам с их помощью... 

Более подробно?
Хорошо. Для карт с 5, там меньше расчётов.
Сколько у нас возможных пар с учётом порядка? Первая карта от 5 до туза - 10 вариантов. Вторая - ещё 10. Итого 100.
Рассчитаем вероятности каждой. Если у нас несимметричная комбинация (5-6, например), то шансы её появления такие - 4 способами может появиться первая карта (из 40), 4 - вторая (из 39). Итого вероятность 4*4/(40*39) = 2/195
Если у нас симметричная комбинация (например, 5-5), то первая карта появляется 4 способами, вторая - 3. Итого 4*3/(40*39) = 1/130.
Далее считаем, сколькими способами может получиться итоговое значение (большее из двух) для каждого числа от 5 до 14. У каждого значения одна пара с изменённой вероятностью, все остальные по 2/195.
5 может получится одним способом 5-5 - итого вероятность 1/130 (проще всё считать в 1560-ых, это 12/1560)
6 - тремя (5-6, 6-6, 6-5) - итого (12+16+16)/1560 или 44/1560
7 - пятью (7-5, 7-6, 7-7, 6-7, 5-7) - итого (12+16+16+16+16)/1560 или 76/1560
...
вплоть до 14 - опять одним способом (14-14) - 12/1560.

Потом считаем мат. ожидание для дискретного распределения нормальным способом - каждое значение умножаем на его вероятность и складываем. 

P.S. А формула Бернулли - это классика.

P.P.S. Только сейчас дошло - сброс карт работает если ОБЕ карты 4 и менее? Тогда второй расчёт надо проводить заново.

[-VINIL-]

Выводить шансы на картах без учета руки других игроков и биты, несколько неинтересно, не?

Карты на руках других никак не влияют на ожидание, если только не знать их до раздачи ) А карты прошлых раундов (биты) "на глаз" не окажут серьезного влияния. Вернее каждый раунд в среднем "влияние" будет одинаковым.

P.P.S. Только сейчас дошло - сброс карт работает если ОБЕ карты 4 и менее? Тогда второй расчёт надо проводить заново.

5 и менее! По букве - да. Именно этот пункт в правилах меня и заставил задуматься, есть ли смысл использовать обе этих "Грани". Что-то подсказывает, что прирост мат. ожидания будет крайне мал Спасибо за выкладки! Я думал есть какой-то более простой способ, поэтому моя лень заставила переложить расчеты на чужие плечи. Сейчас попробую сам обсчитать.

[Kindaro]

У меня, у меня есть вопрос.

Если я кинул горсть из x>2 dN (ну, например 8d10) и получил удивительный результат вида y >= a/(a+1) * x, где 2<а<x  (ну, например, 8 -- семь из восьми) единичек (критическая неудача с далеко идущими печальными последствиями), насколько обоснована моя надежда получить от госпожи Фортуны в скором времени исключительно удачный бросок в качестве компенсации? Другими словами, насколько исключительные результаты данной проверки изменяют математическое ожидание последующих?

[Геометр Теней]

Ни на сколько. Результаты предыдущих бросков никак не влияют на последующие.

Если вы подбрасываете правильную монетку 1000 раз и выпало 1000 гербов, шанс выпасть для решки на следующем броске по-прежнему одна вторая. Это может быть сильным подтверждением подозрения, что монетка неправильная, но если вы знаете, что она правильная - это значит лишь что вы выбросили редкую комбинацию, вот и всё.

[Kindaro]

Геометр, засчитайте себе, пожалуйста, фраг за взрыв мозга. А у меня тем временем ещё вопрос.

Как может быть устроена механика, в которой вероятность снять кому угодно все хиты одним выстрелом никогда не равна "невозможно" и плавно меняется в зависимости от мастерства стрелка, мощности оружия и других желаемых факторов, стремясь к, но не достигая, отметки 100 процентов?

При этом, изменяя эти факторы, стрелок может добиться вероятности, сколь угодно близкой к 100%, да.

[Erih]

Как может быть устроена механика, в которой вероятность снять кому угодно все хиты одним выстрелом никогда не равна "невозможно" и плавно меняется в зависимости от мастерства стрелка, мощности оружия и других желаемых факторов, стремясь к, но не достигая, отметки 100 процентов?

При этом, изменяя эти факторы, стрелок может добиться вероятности, сколь угодно близкой к 100%, да.

Однохитовая механика "попал - не попал".

[Kindaro]

Идея в том, чтобы стрелок также мог добиться высокой вероятности травмировать, но не убить.

Возможно, стоит нарисовать приближение к нормальному распределению и каким-то образом его изменять. Сдвигать, масштабировать.

[Gix]

Kindaro,
А если посмотреть в сторону дайспульных механник а-ля WoD? Пусть у нас бросок на попадание - это большая куча монеток, число монеток - сумма всех подходящих характеристик, не углубляясь в детали. Каждая монетка, на которой выпал "орел" - успех, с противника снят один хит. Пусть для простоты он же единственный у соперника. Чем больше у нас дайспул - тем больше шансов, что хоть на одной монетке будет орел, но всегда существует (0,5)^N, где N - размер дайспула, вероятность того, что на всех монетках будет решка.

UPD:
Да, если хотим всегда иметь шанс убить противника - дайспул никогда не меньше 1. Если хит не один  - то либо не меньше числа хитов, либо прикрутить какие-нибудь взрывающиеся дайсы. Собственно, WoD и получится. Я его правда не очень хорошо знаю, но вроде похоже. С десяткой вместо монетки, конечно.

[Геометр Теней]

Тех. задание, плиз. Я пока не понял про требования к механике (не думаю, что это к теории вероятностей, тут может быть отдельная тема). Что нужно? Некое асимптотическое приближение к "убил одним выстрелом"?

Хорошо. Вот вам пример. У нас есть параметр "смертоносность" (который вы высчитываете как хотите из оружия, обстоятельств и пр). Пусть для данного числа обстоятельств он
Проверка такая. Кидаем монетку (дайс, нужное вписать). Успех (например, герб) означает, что цель убита. Неудача - кидаем ещё раз, и так до N раз. Потом стоп. Соответственно, при монетке шанс убить будет равен 1 - (0,5)^N, что стремится к 1, но ни при каком конечном N не достигает. Заменяя монетку дайсом с другим шансом "успеха" и, возможно, какой-то градацией между "убил" и "ранил" (допустим, на d10 7+ убил, 3+ ранил) можно добиться чего-то схожего.

Но вообще хороший вопрос - половина ответа. Пока что вопрос сформулирован криво - ясно читается, что желается не то, что спрашивается...

P.S. Что самое смешное - пока набирал, написали ответ со схожей мыслью и даже с тем же примером - монетками.

[Kindaro]

... Пусть для данного числа обстоятельств он
Проверка такая. ...

-- Он что? Там что-то пропущено.

[Геометр Теней]

Точно, пропущено! Следует читать "пусть для данного стечения обстоятельств он равен N". Прошу прощения, отвлёкся... 

[Dekk]

Как может быть устроена механика, в которой вероятность снять кому угодно все хиты одним выстрелом никогда не равна "невозможно" и плавно меняется в зависимости от мастерства стрелка, мощности оружия и других желаемых факторов, стремясь к, но не достигая, отметки 100 процентов?

При этом, изменяя эти факторы, стрелок может добиться вероятности, сколь угодно близкой к 100%, да.

Нужна дополнительная информация о том, с чем придётся работать. Можно сделать сколь угодно хитрую механику, вопрос в том, какими методами этого добиваться. Например: навык стрельбы определяет размер дайспула д6, оружие имеет характеристику 1-5, которая определяет когда кубик взрывается. Взрыв кубика - это переброс с добавлением его результата к дайспулу, осуществляется, если на кубике выпало не больше характеристики оружия. Снимаются ли хиты за сумму точек на кубиках, количество четных кубиков или ещё как - уже не сильно важно.

[Erl]

Нужна дополнительная информация о том, с чем придётся работать. Можно сделать сколь угодно хитрую механику, вопрос в том, какими методами этого добиваться. Например: навык стрельбы определяет размер дайспула д6, оружие имеет характеристику 1-5, которая определяет когда кубик взрывается. Взрыв кубика - это переброс с добавлением его результата к дайспулу, осуществляется, если на кубике выпало не больше характеристики оружия. Снимаются ли хиты за сумму точек на кубиках, количество четных кубиков или ещё как - уже не сильно важно.

Или еще проще, как у меня, например.  Без взрывающихся кубиков и без хитов

[Dekk]

Или еще проще, как у меня, например.  Без взрывающихся кубиков и без хитов

Можно и проще, можно и покерный бросок сделать, чтобы ввести игру в игре, а можно в бросок встроить мастерский произвол, но подкреплённый правилами. Но тут опять-таки нужно знать в какую сторону думать.

[Lindar]

Прощу помощи! нужно просчитать вероятность.

Пример: бросок 1к6, цель 6. вероятность 16,7%

Условие: бросок 1к6, цель 6, но при выпадении 1 - переброс (1 или 2 раза).
какая теперь будет вероятность успеха?

В anydice не могу додуматься как формулу составить.

[Арсений]

Соответственно, вероятность одного броска - 1/6, с одним перебросом - 1/3 (т.е. 30%) и с двумя - 1/2 (50%).

[Lindar]

Спасибо! мне почему-то казалось что все должно быть сложнее

[CTPAHHUK]

Вообще, как по мне, так действительно всё сложнее. А именно 1/6 + 1/36 + 1/216 = (36+6+1)/216 = 43/216.

[Арсений]

Да, конечно, протупил, что переброс только при единице, извините, Странник все верно написал. Надо было в начале выпить кофе, потом писать. >.<

[ariklus]

Пока что реально сложно посчитать вероятность успеха только в roll and keep системах с "взрывающимися" кубиками и перебросом единиц в случае специализации. ДнД - только клинический идиот не посчитает, гурпса - сумма трех дискретных, сторителлинг - биномиальное распределение + ботчи. Хотя машинным методом таблицы вероятностей уже давно составлены на все более-менее сложное.

[Son_of_Morning]

Пока что реально сложно посчитать вероятность успеха только в roll and keep системах с "взрывающимися" кубиками и перебросом единиц в случае специализации.  гурпса - сумма трех дискретных, сторителлинг - биномиальное распределение + ботчи. Хотя машинным методом таблицы вероятностей уже давно составлены на все более-менее сложное.

Если под "взрывающимися" кубиками подразумеваются системы, где при выпадении "6" (максимальной кости) кубик бросается снова и результат добавляется довольно легко:
MED + progression_summ;
MED = среднее арифметическое всех костей, кроме максимальной = ( 1 + (MAX - 1))/2 = 0.5 * MAX
progression_summ = сумма геометрической прогрессии (если выпадает максималный кубик) = MED*1/MAX + MED*1/MAX^2 + ... +MED*1/MAX^N + ... = сумма с первым членом MED/MAX, и множителем 1/MAX = MED/MAX * MAX/(MAX - 1) = MED/(MAX-1).

RESULT = MED + progression_summ = MED + MED/(MAX-1) = 0.5 * MAX * (1 + 1/(MAX-1)).
цифорку 6 (вместо MAX) подставить думаю не сложно.

ДнД - только клинический идиот не посчитает,

Думаю это несколько смелое утверждение.
Вот например:
У меня есть фит -- однажды в день перекинуть инициативу.
ДМ обещал нам 4 боя (как в ДМГ обещано).
Я хочу как можно больше раз ходить быстрее монстры (пусть у монстров в среднем инициатива +1).
Поссчитайте (если у меня осталась ещё переброска инициативы): при каком значении на кубике инициативы мне надо использовать перебрасывание (подсказка в 1бой, во 2бой, в 3бой, в 4бой)?

[Dekk]

RESULT = MED + progression_summ = MED + MED/(MAX-1) = 0.5 * MAX * (1 + 1/(MAX-1)).
цифорку 6 (вместо MAX) подставить думаю не сложно.

Среднее значение для шестигранника со взрывами равно 4,2, так что у тебя в рассчетах какая-то ошибка.

А, разобрался. При выпадении 6 на шестиграннике результат должен быть равен 6 + результат нового броска, а у тебя шестёрка (точнее MAX) не фигруирует в рассчете среднего значения. Так как прогрессия определяется через среднее значение, то шестёрка не фигурирует и в ней.

[Геометр Теней]

Я хочу как можно больше раз ходить быстрее монстры (пусть у монстров в среднем инициатива +1).
Поссчитайте (если у меня осталась ещё переброска инициативы): при каком значении на кубике инициативы мне надо использовать перебрасывание (подсказка в 1бой, во 2бой, в 3бой, в 4бой)?

Подразумевается, что у нас инициатива +0? (Я понимаю, что это было иллюстрацией к иному, просто интересно - справлюсь ли за 10 минут... Специально пробую выставить без проверки, чтобы если что было стыдно. ).

Вообще, поскольку у нас броски инициативы независимы, выкладки тут сильно упростятся... При последнем броске, если у нас остался переброс, его надо задействовать при результате 10 и ниже. Думаю, что выкладки очевидны.

Если у нас есть не-последний бросок, и выпало X. Шансы, что монстры будут ходить раньше в этот раз - (21-X)/20; что мы ходим раньше - (X-1)/20. При перебросе мы ходим раньше с шансами 19/40 (0 в случае броска 1, 1/20 - в случае броска 2 и так далее, каждый случай с шансом 1/20). Итого наш выигрыш в вероятности ходить первым при перебросе - 19/40 - (X-1)/20  = (21 - 2X)/40. Как видно, при результатах выше 10 выгода от переброса отрицательна. Если мы не тратим переброс, то он попадёт в ситуацию с положительной выгодой с вероятностью 1 - (1/2)^N, где N - число оставшихся бросков.

Средний прирост в вероятности ходить первым при перебросе числа меньшего 10 равен сумме  (19/40 - (z-1)/20)/10 (по z от 1 до 10) = 1/4. Таким образом, если мы не тратим переброс при N оставшихся бросках, то получаем прирост вероятности 1/4* (1- 1/2^N). Если это выражение больше (2X - 21)/40, то переброс стоит сохранять, иначе - тратить.

При N=1 получаем, что X < 8 (то есть перебрасывать в третьем бою надо при 7 и ниже), при N=2 получаем X < 27/4, то есть во втором бою -  при 6 и ниже, и, наконец, в первом (N=3, X<49/8) получаем, что перебрасывать надо снова при 6 и ниже.

Можно получить то же самое с точки зрения теории игр более формально, если охота.

[Son_of_Morning]

Среднее значение для шестигранника со взрывами равно 4,2, так что у тебя в рассчетах какая-то ошибка.

хм... ага, спасибо, ошибка в определении.
я при выпадении 6 не плюсовал 6, а просто добавлял взрыв:

Код: [Выделить]

MED = среднее арифметическое всех костей, кроме максимальной = ( 1 + (MAX - 1))/2 = 0.5 * MAX
Пересчитать надо среднее (без взрыва), остальное без изменений.
MED = (MAX + 1)/2
progression_summ = тут без изменений = MED/(MAX-1).
result = MED + progression_summ = 0.5 * ( MAX + 1 + (MAX - 1 + 2)/(MAX - 1))) = 0.5 * (MAX + 2 + 2/(MAX-1)) = 1 + MAX/2 + 1/(MAX+1) //собственно 4.2