Здравствуйте, Гость

Автор Тема: Иррациональность π  (Прочитано 382 раз)

Оффлайн benevolent

  • Завсегдатай
  • ***
  • Сообщений: 846
    • Просмотр профиля
Иррациональность π
« : Январь 26, 2021, 18:00 »
Не уверен, что это правильное место для такого вопроса, но ничего лучше не вижу.
Известно ли доказательство subj., которое можно объяснить Евклиду на вписанных/описанных многоугольниках, не пытаясь выучить его с нуля исчислению бесконечно малых?

Оффлайн Геометр Теней

  • Модератор
  • Легенда форума
  • ******
  • Сообщений: 7 357
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #1 : Январь 26, 2021, 18:10 »
Боюсь что нет - элементарных геометрических доказательств для такого вроде неизвестно. Другое дело, что выучить старика методам, которые нынче ассоциированы с анализом, в общем-то не должно быть так уж сложно - Архимед пришёл к соответствующему "методу исчерпывания" чисто геометрически (формально, видимо, Евдокс до него, но Архимед метод развернул во вполне строгие по античным меркам рассуждения). Сам Евклид, собственно, излагал метод в десятой книге "Начал" и даже, кажется, применял в последующих. Другое дело, что понятие бесконечности у греков было сильно скомпрометировано Зеноном, так что его в строгом изложении старались избегать.

Ещё, в принципе, можно попробовать делать ход конём и заходить через алгебру групп - всё необходимое для того, чтобы ввести понятие группы у античных математиков было (и группа поворотов здорово бы облегчила им жизнь во многих геометрических задачах), но это, в общем-то, тоже взлом условия. Там можно многое показывать на многоугольниках, но всё равно придётся вводить довольно много абстрактных понятий - и объём требуемого для выхода на иррациональность всё равно солидный.
« Последнее редактирование: Январь 26, 2021, 18:23 от Геометр Теней »

Оффлайн Shirson

  • Частый гость
  • **
  • Сообщений: 197
  • Die human, die!
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #2 : Январь 27, 2021, 04:46 »
Не уверен, что это правильное место для такого вопроса, но ничего лучше не вижу.
Известно ли доказательство subj., которое можно объяснить Евклиду на вписанных/описанных многоугольниках, не пытаясь выучить его с нуля исчислению бесконечно малых?
Геометрически не доказывается.
Среди прочего и поэтому народ почти 25 столетий лбами об квадратуру бились.

Оффлайн benevolent

  • Завсегдатай
  • ***
  • Сообщений: 846
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #3 : Январь 27, 2021, 12:30 »
Группа поворотов - это намного лучше π как аргумента функционального ряда.

Оффлайн Геометр Теней

  • Модератор
  • Легенда форума
  • ******
  • Сообщений: 7 357
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #4 : Январь 27, 2021, 13:44 »
Можно ещё попробовать через цепные дроби. Собственно, это не геометрическое доказательство, но в Египте как раз пользовались аликвотными дробями, и на их основе к цепной дроби перейти можно легко. Иррациональное число - это просто число, не представимое конечной цепной дробью. Есть доказательство Ламберта иррациональности "пи" через цепные дроби - это 1761 год, там не так уж и была развита теория, так что его можно достаточно быстро изложить, без долгого вводного курса. Беда в том, что Евклид бы, наверное, очень осторожно отнёсся к бесконечным дробям. 

Оффлайн benevolent

  • Завсегдатай
  • ***
  • Сообщений: 846
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #5 : Январь 27, 2021, 14:10 »
Бесконечная дробь как функция, аргументом которой является π, разве лишь немного лучше такой же бесконечной суммы. Тут вопрос даже не об актуальной бесконечности, которая в каждом конкретном случае избегается (с точностью до оснований геометрии) εδ-конструкциями, а вообще о готовности Евклида мыслить алгебраическими выражениями.

Оффлайн Геометр Теней

  • Модератор
  • Легенда форума
  • ******
  • Сообщений: 7 357
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #6 : Январь 27, 2021, 14:37 »
Евклид совершенно точно спокойно работал с отношениями, активно применяя не только чисто геометрическое отношение отрезков. В этом-то смысле цепные-то дроби как раз должны быть для него наглядны. Беда, что алгебраическое понятие группы всё равно потребует тоже существенного уровня абстракции и изложения "другой математики" (в смысле эпохи) с соответствующим стилем мышления, в этом смысле подход выше тоже не очень. Однако, сдаётся мне, не следует недооценивать античных геометров - и в целом задача-то с аксиоматическим изложением чего-то для Евклида (который заведомо выдающийся систематизатор) кажется скорее педагогической, нежели математической.

Оффлайн benevolent

  • Завсегдатай
  • ***
  • Сообщений: 846
    • Просмотр профиля
Re: Иррациональность π
« Ответ #7 : Январь 27, 2021, 14:57 »
И вот эта цепная дробь, в которую бесконечное количество раз входит произвольное число, по каким-то невообразимым причинам равна отношению катетов в неком определяемом этим же числом треугольнике? Хм... я лично уж лучше про группы объяснить попытаюсь.